Muitos afirmam que as condições
meteorológicas da terra poderiam estar num ‘atrator estranho’. E. Lorenz
anexou, em seu artigo de 1963 sobre o caos determinista, o “Deterministic Dynamical Systems”, um
desenho com apenas duas curvas à direita, uma dentro da outra, e cinco à
esquerda: um ponto movimentando-se ao longo dessa trajetória no espaço de fase,
em torno desses sete loops, ilustrava a rotação lenta e caótica de um fluido,
modelado pelas três equações de Lorenz para a convecção. Esse ‘atrator’ ficava
num espaço de fase tridimensional, afinal esse sistema tinha três variáveis
independentes. Assim, Lorenz pode ver uma espécie de espiral dupla, como um par
de asas de borboleta, interligado com infinita habilidade. Esses loops e espirais
eram infinitamente profundos, nunca se juntando totalmente nem se cruzando,
entretanto permaneciam dentro de um espaço finito, confinado por uma caixa.
Quando o calor crescente do sistema empurrava o fluido numa direção, a
trajetória permanecia ao lado direito, mas, quando o movimento rotativo parava
e se invertia, a trajetória oscilava para a outra asa. Enfim, o atrator era
estável, de baixa dimensão e não-periódico.
O atrator estranho vive no espaço
de fases, uma das invenções mais relevantes da ciência moderna. Traçada no
espaço de fases (ou das variáveis), a sequência dos valores assumidos por essas
variáveis define uma trajetória que se enrola sobre um curioso objeto de dois
lóbulos. Esse objeto, que tem um volume nulo não é uma mera superfície, mas uma
infinidade de falhas (muito juntas uma das outras): estava descoberto o
primeiro ‘atrator estranho’, como em “Dos Ritmos ao Caos”, de Pierre Bergé,
Monique Dubois-Gance e Yves Pomeau. No espaço de fase o conhecimento total
sobre um ‘sistema dinâmico’ – Ilya Prigogine em “O Fim das Certezas” definiu os
sistemas dinâmicos estáveis (pequenas modificações das condições iniciais
produzem pequenos efeitos) dos instáveis (modificações se amplificam ao longo
do tempo) – num instante único do tempo resume-se a um ponto. Esse ponto é o ‘sistema
dinâmico’ – naquele instante, porém, no instante seguinte o sistema terá se
modificado, mesmo que seja levemente e assim o ponto se mexe. O histórico do
tempo do sistema pode ser registrado num gráfico pelo ponto móvel, traçando-se
sua órbita pelo espaço de fase com a passagem do tempo. Pode-se imaginar,
conforme J. Gleick em “Caos”, um ‘atrator estranho’ dando voltas e zumbindo
ante seus olhos, com órbitas que vão para cima e para baixo, para a esquerda e
para a direita, para frente e para trás. Como o sistema nunca se repete
exatamente, a trajetória nunca se cruza, em lugar disso, faz loops circulares.
Três equações, com três
variáveis, descreviam totalmente o movimento desse sistema. O computador de
Lorenz imprimiu os valores instáveis das três variáveis: 0-10-0; 4-12-0;
9-20-0; 16-36-2; 30-66-7; 54-115-24; 93-192-74. Os três números subiam e
desciam enquanto intervalos imaginários de tempo passavam, cinco intervalos,
cem, mil intervalos. Lorenz usou cada grupo de três números como coordenadas
para especificar a localização de um ponto no espaço tridimensional: a
sequência de números produziu uma sequência de pontos que traçavam uma linha
contínua de pontos que traçavam uma linha contínua, um registro do
comportamento do sistema. O ‘mapa’ mostrou uma espécie de complexidade
infinita, ou seja, ficava sempre dentro de certos limites, nunca saindo da
página, mas nunca se repetindo: traçava uma forma estranha, uma espécie de
espiral dupla em três dimensões, como uma borboleta com as duas asas. A forma
assinalava a desordem pura, já que nenhum ponto ou padrão de pontos jamais se
repetir, não obstante também assinalava um novo tipo de ordem. A misteriosa
curva traçada ao final, a dupla espiral que se tornou conhecida como ‘atrator de
Lorenz’.
Os atratores dos regimes
estacionários (ponto fixo) e periódico (ciclo limite) são tais que as
trajetórias neles convergem de maneira monótona Como as trajetórias oriundas de
diferentes pontos do espaço das fases ali convergem? Primeiramente, essas
trajetórias estão submetidas a vínculos à primeira vista contraditórios. Ao
considerar a existência do caos indiscernível, a própria ‘sensibilidade às
condições iniciais’ implica uma divergência de trajetórias vizinhas,
divergência que lhes confere evoluções independentes, não-correlatas,
dessemelhantes. Como o sistema é dissipativo, entretanto, todas as trajetórias
devem convergir para o ‘atrator’ que se busca compreender. Para conciliar essas
duas exigências contraditórias: a divergência deve se realizar numa direção do
espaço das fases e a convergência numa outra.
Apreende-se da geometria do
atrator a evolução de um conjunto de condições iniciais (posição, velocidades)
situadas no interior de um retângulo, por exemplo, no caso do pêndulo simples
oscilante e de seu atrator ciclo limite: o retângulo contrai-se pari passu com
a evolução até tornar-se um segmento – um arco de elipse. No espaço das fases,
tridimensional, a trajetória será errática, mas recordará do ciclo limite
‘fantasma’: errando de maneira até complexa, mas na vizinhança desse ciclo
limite, a trajetória continuará, em média, funcionar.
Considere-se, no caso do atrator
do regime periódico, um conjunto de condições iniciais situadas num retângulo
do espaço das fases. A convergência para o atrator (devida à dissipação que
acarreta uma contração da área) e divergência das trajetórias (SCI) devem agora
coexistir. O retângulo vai ser esticado numa direção (SCI) e achatado
(contração) na outra. O necessário alongamento do retângulo não pode se realizar
sem que haja um dobramento simultaneamente para continuar ainda nesse volume
limitado. Com isso, ao final de uma volta, o retângulo ter-se-á transformado
numa ferradura. Com a tríplice operação de alongamento (dobramento e contração
contínua) a se realizar, na segunda volta, essa ferradura será o corte de um
objeto complexo: o atrator caótico, constituído de uma infinidade de folhas.
Trajetórias sob uma série de alongamentos e de dobramentos sucessivos que
produzem uma evolução em ferradura sob uma contração permanente.
Deduz-se, pois, o princípio de
formação de um ‘atrator estranho’: [a] os pontos iniciais estão contidos num
retângulo qualquer, por exemplo, ABCD. Durante a evolução, essa superfície que
contém os pontos é alongada, dobrada, realongada e redobrada até formar um
conjunto folheado muito complexo; [b] primeiras etapas da evolução do retângulo
cujo corte é representado à direita. Manifestam-se semelhantes etapas de
construção de um conjunto de Cantor.
Nos procedimentos da ‘poeira de
Cantor’ não se precisa dispor de uma série de pontos equidistantes ao longo dos
objetos, os pontos a enumerar são os que constituem a própria ‘poeira’ objeto
ao longo do método de fabricação do objeto. Diante de uma infinidade de pontos,
a ‘dimensão D’ não será nula, mas a presença de ‘buracos’ no objeto fará que o
número de pontos contidos nas esferas de contagem aumente menos rapidamente do
que no caso da reta que, por seu lado, não tem buracos. A dimensão da poeira de
Cantor está compreendida entre 0 e 1. ‘Flocos de Neve’: estranho objeto que não
é uma superfície nem tampouco uma linha, tem um perímetro infinito; não se
recorta e se mantém numa espaço limitado.
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