Tres Variáveis de Lorenz

Como foi possível que, conhecendo as equações da circulação atmosférica, bem como as condições iniciais, não se conseguisse prever com um grau de confiabilidade razoável o tempo que faria alguns dias mais tarde? Essa foi uma questão que intrigava Edward Lorenz, professor de ciências da atmosfera no Massachussets Institute of Technology. Para isso ele simplificou (‘erro’?) consideravelmente as equações da circulação atmosférica, a fim de obter para elas uma solução numérica confiável e rápida, com os computadores que dispunha na época. Em suma, Lorenz escreveu as ‘equações simplificadas’ da ‘convecção térmica’ de Rayleigh-Bérnard: o ar aquecido se resfria na alta atmosfera, torna a descer, e o ciclo se repete ao infinito. Foram realizados estudos sobre as reações químicas oscilantes e os escoamentos hidrodinâmicos ligados ao ‘fenômeno de convecção’, de Rayleigh-Bérnard.

Sobre o fenômeno de convecção são gerados turbilhões por um gradiente de temperatura, como no núcleo ou no manto terrestre, mas em laboratórios os líquidos utilizados são menos viscosos e as geometrias mais simples: o fato de um comportamento turbulento ser atribuído a um ‘caos’ de poucas variáveis chocava muitos especialistas em mecânica dos fluídos, de acordo com Pierre Bergé, Maurice Pomeau e Monique Dubois-Gance em “Dos Ritmos ao Caos”. O ‘modelo simplificado’ que Lorenz propôs a partir daí faz intervirem apenas três variáveis. Simplificado dessa maneira, prevê-se que esse modelo será muito útil para previsões atmosféricas reais. Esse ‘modelo simplificado’ de Lorenz, no entanto, possui os ingredientes necessários para ser representativo de movimentos atmosféricos, num caso extremamente particular. As três variáveis do modelo são, portanto, a temperatura (do ar), a velocidade (do vento), a dinâmica (que a temperatura varia com a altitude). Lorenz acabou reduzindo o tempo atmosférico aos ‘elementos essenciais’? Não obstante, os ventos e as temperaturas dos resultados impressos pelo seu computador pareciam se comportar de uma maneira reconhecível realidade.

Os ventos correspondiam a sua intuição, sua sensação de que o tempo repetia, ou seja, revelando padrões reconhecidos: pressão aumentando e caindo, as correntes de ar oscilando entre norte e sul. Mas as repetições nunca eram perfeitamente iguais, isto é, havia um padrão, mas com alterações, enfim, uma desordem ordenada.

Edward Lorenz usou um sistema de equações puramente determinista: dado um determinado ponto de partida, as condições meteorológicas se desenvolveriam exatamente da mesma maneira, a cada vez; mas dado um ponto de partida ligeiramente diferente, o tempo se desdobraria de uma maneira ligeiramente diferente. Dado às devidas proporções, os ‘erros’ no ponto de partida no sistema específico de Lorenz mostravam-se catastróficos.

Um tipo específico de movimento dos fluidos inspirou as ‘três equações de Lorenz’: a ascensão do gás ou líquido quente conhecido como ‘convecção’. Na atmosfera, a convecção agita o ar aquecido pela terra banhada de sol e ondas de convecção sobem como fantasmas acima do asfalto e dos radiadores quentes. E. Lorenz tinha a mesma satisfação em falar sobre a convecção numa xícara de café quente: ‘este era apenas um dos inumeráveis processos dinâmicos em nosso universo cujo comportamento futuro gostaríamos de prever’, como dizia Lorenz. Se o café estiver morno, seu calor se dissipará sem qualquer movimento hidrodinâmico, mas, se estiver quente o bastante, uma rotação convectiva (propagadora) levará o café quente do fundo da xícara para a superfície mais fria: como o calor se dissipa e o atrito retarda o fluido em agitação, o movimento terá que parar, inevitavelmente. As equações do movimento que governam uma xícara de café que se esfria devem, portanto, refletir o destino do sistema – devem ser dissipantes. A temperatura deve pender para a temperatura do ambiente e a velocidade para zero, em “Caos” de James Gleick.

E. Lorenz tomou uma série de equações para a convecção e reduziu-a ao essencial eliminando tudo o que pudesse ser irrelevante, tornando-a de uma simplicidade pouco realista.  Quase nada do modelo originou permanecer, mas ele deixou a ‘não-linearidade’.

O tipo mais simples de convecção mostrado nos manuais ocorre numa célula de fluido: uma caixa com um fundo liso que pode ser aquecido e uma tampa lisa que pode ser resfriada. A diferença de temperatura entre o fundo quente e a tampa fria controla o fluxo Se a diferença é pequena, o sistema permanece estável. O calor se movimenta para o alto pela condução, como acontece numa barra de metal, sem superar a tendência natural do fluido a permanecer em repouso. Além disso, o sistema é estável.

Aumenta-se o calor e um novo comportamento se manifesta, assim, o fluido do fundo se expande quando esquenta. Ao se expandir, torna-se menos denso – torna-se mais leve o suficiente para superar o atrito, assim sobe para a superfície. Destaca-se que numa caixa projetada, com uma rotação cilíndrica (‘rolagem de um fluxo’), o fluxo quente sobe de um lado e o fluxo frio desce exatamente para o outro. Visto de lado, o movimento faz um ‘círculo contínuo’, mas fora do laboratório a natureza fez com frequência também esse movimento em suas ‘células de convecção’. O sol que esquenta o chão de um deserto, por exemplo.

Aumenta-se o calor ainda mais e o comportamento se torna mais complexo: os movimentos ondulatórios começam a oscilar, mas as equações de Lorenz eram muito simples para criar um modelo desse tipo de complexidade. Essas equações abstraíam um aspecto da convecção no mundo real: o movimento circular do fluido quente elevando-se como uma roda gigante. As equações levavam e conta, entretanto a velocidade desse movimento e a transferência de calor.

Se o círculo girava suficiente, para J. Gleick em “Caos”, a bola de fluido não tinha perdido todo o seu calor extra no momento em que chegava ao alto e começava a descer novamente pelo outro lado, assim começava a pressionar contra o impulso do outro fluido quente que vinha atrás dela.

O Atrator Estranho

Muitos afirmam que as condições meteorológicas da terra poderiam estar num ‘atrator estranho’. E. Lorenz anexou, em seu artigo de 1963 sobre o caos determinista, o “Deterministic Dynamical Systems”, um desenho com apenas duas curvas à direita, uma dentro da outra, e cinco à esquerda: um ponto movimentando-se ao longo dessa trajetória no espaço de fase, em torno desses sete loops, ilustrava a rotação lenta e caótica de um fluido, modelado pelas três equações de Lorenz para a convecção. Esse ‘atrator’ ficava num espaço de fase tridimensional, afinal esse sistema tinha três variáveis independentes. Assim, Lorenz pode ver uma espécie de espiral dupla, como um par de asas de borboleta, interligado com infinita habilidade. Esses loops e espirais eram infinitamente profundos, nunca se juntando totalmente nem se cruzando, entretanto permaneciam dentro de um espaço finito, confinado por uma caixa. Quando o calor crescente do sistema empurrava o fluido numa direção, a trajetória permanecia ao lado direito, mas, quando o movimento rotativo parava e se invertia, a trajetória oscilava para a outra asa. Enfim, o atrator era estável, de baixa dimensão e não-periódico.

O atrator estranho vive no espaço de fases, uma das invenções mais relevantes da ciência moderna. Traçada no espaço de fases (ou das variáveis), a sequência dos valores assumidos por essas variáveis define uma trajetória que se enrola sobre um curioso objeto de dois lóbulos. Esse objeto, que tem um volume nulo não é uma mera superfície, mas uma infinidade de falhas (muito juntas uma das outras): estava descoberto o primeiro ‘atrator estranho’, como em “Dos Ritmos ao Caos”, de Pierre Bergé, Monique Dubois-Gance e Yves Pomeau. No espaço de fase o conhecimento total sobre um ‘sistema dinâmico’ – Ilya Prigogine em “O Fim das Certezas” definiu os sistemas dinâmicos estáveis (pequenas modificações das condições iniciais produzem pequenos efeitos) dos instáveis (modificações se amplificam ao longo do tempo) – num instante único do tempo resume-se a um ponto. Esse ponto é o ‘sistema dinâmico’ – naquele instante, porém, no instante seguinte o sistema terá se modificado, mesmo que seja levemente e assim o ponto se mexe. O histórico do tempo do sistema pode ser registrado num gráfico pelo ponto móvel, traçando-se sua órbita pelo espaço de fase com a passagem do tempo. Pode-se imaginar, conforme J. Gleick em “Caos”, um ‘atrator estranho’ dando voltas e zumbindo ante seus olhos, com órbitas que vão para cima e para baixo, para a esquerda e para a direita, para frente e para trás. Como o sistema nunca se repete exatamente, a trajetória nunca se cruza, em lugar disso, faz loops circulares.

Três equações, com três variáveis, descreviam totalmente o movimento desse sistema. O computador de Lorenz imprimiu os valores instáveis das três variáveis: 0-10-0; 4-12-0; 9-20-0; 16-36-2; 30-66-7; 54-115-24; 93-192-74. Os três números subiam e desciam enquanto intervalos imaginários de tempo passavam, cinco intervalos, cem, mil intervalos. Lorenz usou cada grupo de três números como coordenadas para especificar a localização de um ponto no espaço tridimensional: a sequência de números produziu uma sequência de pontos que traçavam uma linha contínua de pontos que traçavam uma linha contínua, um registro do comportamento do sistema. O ‘mapa’ mostrou uma espécie de complexidade infinita, ou seja, ficava sempre dentro de certos limites, nunca saindo da página, mas nunca se repetindo: traçava uma forma estranha, uma espécie de espiral dupla em três dimensões, como uma borboleta com as duas asas. A forma assinalava a desordem pura, já que nenhum ponto ou padrão de pontos jamais se repetir, não obstante também assinalava um novo tipo de ordem. A misteriosa curva traçada ao final, a dupla espiral que se tornou conhecida como ‘atrator de Lorenz’.

Os atratores dos regimes estacionários (ponto fixo) e periódico (ciclo limite) são tais que as trajetórias neles convergem de maneira monótona Como as trajetórias oriundas de diferentes pontos do espaço das fases ali convergem? Primeiramente, essas trajetórias estão submetidas a vínculos à primeira vista contraditórios. Ao considerar a existência do caos indiscernível, a própria ‘sensibilidade às condições iniciais’ implica uma divergência de trajetórias vizinhas, divergência que lhes confere evoluções independentes, não-correlatas, dessemelhantes. Como o sistema é dissipativo, entretanto, todas as trajetórias devem convergir para o ‘atrator’ que se busca compreender. Para conciliar essas duas exigências contraditórias: a divergência deve se realizar numa direção do espaço das fases e a convergência numa outra.

Apreende-se da geometria do atrator a evolução de um conjunto de condições iniciais (posição, velocidades) situadas no interior de um retângulo, por exemplo, no caso do pêndulo simples oscilante e de seu atrator ciclo limite: o retângulo contrai-se pari passu com a evolução até tornar-se um segmento – um arco de elipse. No espaço das fases, tridimensional, a trajetória será errática, mas recordará do ciclo limite ‘fantasma’: errando de maneira até complexa, mas na vizinhança desse ciclo limite, a trajetória continuará, em média, funcionar.

Considere-se, no caso do atrator do regime periódico, um conjunto de condições iniciais situadas num retângulo do espaço das fases. A convergência para o atrator (devida à dissipação que acarreta uma contração da área) e divergência das trajetórias (SCI) devem agora coexistir. O retângulo vai ser esticado numa direção (SCI) e achatado (contração) na outra. O necessário alongamento do retângulo não pode se realizar sem que haja um dobramento simultaneamente para continuar ainda nesse volume limitado. Com isso, ao final de uma volta, o retângulo ter-se-á transformado numa ferradura. Com a tríplice operação de alongamento (dobramento e contração contínua) a se realizar, na segunda volta, essa ferradura será o corte de um objeto complexo: o atrator caótico, constituído de uma infinidade de folhas. Trajetórias sob uma série de alongamentos e de dobramentos sucessivos que produzem uma evolução em ferradura sob uma contração permanente.

Deduz-se, pois, o princípio de formação de um ‘atrator estranho’: [a] os pontos iniciais estão contidos num retângulo qualquer, por exemplo, ABCD. Durante a evolução, essa superfície que contém os pontos é alongada, dobrada, realongada e redobrada até formar um conjunto folheado muito complexo; [b] primeiras etapas da evolução do retângulo cujo corte é representado à direita. Manifestam-se semelhantes etapas de construção de um conjunto de Cantor.

Nos procedimentos da ‘poeira de Cantor’ não se precisa dispor de uma série de pontos equidistantes ao longo dos objetos, os pontos a enumerar são os que constituem a própria ‘poeira’ objeto ao longo do método de fabricação do objeto. Diante de uma infinidade de pontos, a ‘dimensão D’ não será nula, mas a presença de ‘buracos’ no objeto fará que o número de pontos contidos nas esferas de contagem aumente menos rapidamente do que no caso da reta que, por seu lado, não tem buracos. A dimensão da poeira de Cantor está compreendida entre 0 e 1. ‘Flocos de Neve’: estranho objeto que não é uma superfície nem tampouco uma linha, tem um perímetro infinito; não se recorta e se mantém numa espaço limitado.

O Efeito Borboleta

O Efeito Borboleta

Um pequeno desvio nas condições iniciais tem efeitos consideráveis ao longo prazo. Assim apresenta-se a sensibilidade às condições iniciais. Edward Lorenz deu uma imagem a esse efeito que batizou de ‘efeito borboleta’: uma pequena perturbação, da intensidade do bater de asas de uma borboleta, pode um mês depois ter um efeito considerável como o desencadeamento de um ciclone (ou até mesmo o contrário, o fim de uma tempestade), em razão de sua amplificação exponencial, que age sem cessar enquanto o tempo passa. O ‘efeito borboleta’ foi descoberto por E. Lorenz quando introduziu involuntariamente um pequeno erro inicial ao refazer seu cálculo e compreendeu que esse erro crescia exponencial à medida que o cálculo prosseguia, até chegar, a um nível em que os resultados mudavam radicalmente. Assim Lorenz descobria o efeito da sensibilidade às condições iniciais.

Ávido por recomeçar com mais detalhes um cálculo particularmente longo, E. Lorenz o recomeçou, mas não desde o começo, para ganhar tempo, ele introduziu os valores das variáveis (temperatura do ar, velocidade do vento, relação da altitude com a temperatura) que havia obtido, desse modo, aparecer a surpresa: ao cabo de pouco tempo os valores encontrados não tinham mais nenhuma relação com os objetos durante o cálculo precedente. A máquina calculava corretamente, no entanto, Lorenz não se enganara ao introduzir os valores. Acontece que as verdadeiras equações da circulação atmosférica não podiam deixar de apresentar mesma sensibilidade às condições iniciais, o que deveria tornar impossível qualquer predição em longo prazo. Como se ele tivesse ganhado o seu desafio de compreensão de imprevisibilidade atmosférica: dado o enorme número de perturbações, próprios da meteorologia, por mínimas que pareçam, nem por isso são controladas. Ou seja, se ocorrer o menor erro de observação, o tempo previsto para uma semana mais tarde será completamente mudado.

Encontra-se uma descrição semelhante sobre o ‘efeito borboleta’ em “Dos ritmos ao caos” de Pierre Berge, Yves Pomeau e Monique Dubois-Gance, em que a presença dessa sensibilidade às condições iniciais não deve fazer que se assimilasse o comportamento de um tempo meteorológico ao do ‘caos’ (de tão pequeno o número de variáveis). Existe uma dupla diferença: trata-se de um lado, de uma ‘dinâmica espaço-temporal’, ao passo que, nos ‘modelos do caos’ propriamente ditos, trata-se de evoluções puramente temporais, nas quais a ‘estruturação espacial’, se existir, será mantido ao longo do tempo, de outro lado, o número de variáveis de um ‘modelo meteorológico’ é consideravelmente alto para ser comparado aos três ou quatro dos ‘modelos clássicos de caos’. Neste caso, a meteorologia só inspirou um dos mais célebres ‘modelos de caos’: o ‘modelo de Lorenz’.

Como relacionar o desprezo às latitudes a essa evolução puramente temporal do ‘modelo de caos’ meteorológico de Lorenz? Uma vez reconhecida essa diferença entre tempo e caos com o modelo espaço-temporal d meteorologia em que medida supor as consequências ou catástrofes meteorológicas a partir das aplicações de tal modelo caótico? Por exemplo, o de Lorenz que está em questão.

Os sistemas caóticos são um exemplo de instabilidade, um ‘sistema instável’, porque as trajetórias correspondentes a condições iniciais, tão próximas quanto quisermos, divergem de maneira exponencial ao longo do tempo. Fala-se, portanto, da ‘sensibilidade às condições iniciais’; ilustrada na parábola da borboleta: ‘a batida de asas de uma borboleta na bacia do Amazonas pode afetar o tempo que fará nos Estados Unidos’, conforme Ilya Prigogine em “O Fim das Certezas”. No ‘efeito borboleta’ – para pequenas condições meteorológicas, qualquer previsão perde o valor rapidamente – os erros e as incertezas se multiplicam formando um efeito de cascata ascendente através de uma cadeia de aspectos turbulentos, que vão dos ‘demônios da poeira’ e tormentas até redemoinhos continentais que só os satélites conseguem ver.

De todo modo, se o tempo chegasse alguma vez a um regime exatamente como o atingido antes, em que todos os ventos e nuvens fossem os mesmos, então se presume que ele se repetiria para sempre e o problema da previsão se tornaria trivial. No entanto, se parássemos apenas no ‘efeito borboleta’, uma imagem da previsibilidade seria substituída pelo menor acaso. Acontece que Lorenz, mais do que isso, em seu ‘modelo de tempo’, ele viu uma ‘ordem mascarada’ de aleatoriedade. Percebe-se que uma cadeia de acontecimentos pode ter um ponto de crise que aumenta pequenas mudanças, perceptível tanto na vida quanto na ciência. Mas o ‘caos’ significa que tais pontos estejam por toda parte, generalizados, em sistemas como o ‘tempo’, onde a dependência sensível das condições iniciais era consequência inevitável da maneira, pela qual as pequenas escalas se combinavam com as grandes.

Dependência sensível às condições iniciais foi o nome técnico que o ‘efeito borboleta’ recebeu, segundo James Gleick em “Caos”. De que modo, então, reafirmar a relevância dos estudos sobre o tempo produzidos por Lorenz no que se refere à ‘dependência sensível às condições iniciais’? Antecipa-se em informar que a intervenção do homem na natureza se baseia cada vez mais à sensibilidade das condições iniciais em um ‘sistema do tempo’. Existe possibilidade de um sistema dinâmico, como o tempo, ignorar à espacialização do homem, à localização de suas práticas (industriais, de sobrevivência, etc.)? De que forma substituir as asas da borboleta pelos atos humanos, como causadores de ‘tornados’ no Texas?